Test AP Calculus BC : sujets propres à la BC

15 questions
Environ 15 min
Gratuit

Les questions du test restent en anglais.

Question 1 sur 15

A curve is given by x = t^2 + 1 and y = t^3 - 3t. Which statements are true?

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À propos de ce test

Voici un échantillon gratuit de 15 questions dans le style de la section à choix multiple de l'examen AP Calculus BC, rédigé par l'équipe StudyPDF. Il se concentre sur ce que la BC ajoute à la AB : les fonctions paramétriques, polaires et à valeurs vectorielles, les séries infinies et les polynômes de Taylor, la méthode d'Euler et la croissance logistique, l'intégration par parties, la décomposition en fractions partielles, les intégrales impropres et la longueur d'arc. Il mélange choix multiple, réponses multiples et textes à trous, et chaque question se fait sans calculatrice. Réponds aux 15 questions, puis regarde ton score et lis l'explication détaillée de chaque question.

Les 15 questions en un coup d'œil

Tu préfères lire avant de jouer ? Toutes les questions de l'échantillon sont listées ci-dessous. Les réponses et les explications restent repliées tant que tu ne les ouvres pas.

1.A curve is given by x = t^2 + 1 and y = t^3 - 3t. Which statements are true?
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- A. dy/dx = 9/4 when t = 2
- B. The curve has a horizontal tangent when t = 1
- C. The curve has a vertical tangent when t = 0
- D. The curve has a horizontal tangent at exactly one value of t
- E. dy/dx = 3t^2 - 3 for all t
Réponse : A. dy/dx = 9/4 when t = 2, B. The curve has a horizontal tangent when t = 1, C. The curve has a vertical tangent when t = 0
For a parametric curve, dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = (3t^2 - 3)/(2t). At t = 2 that is 9/4. A horizontal tangent needs dy/dt = 0 with dx/dt not 0: dy/dt = 0 at t = 1 and t = -1, and dx/dt is 2 and -2 there, so there are two such values, not one. A vertical tangent needs dx/dt = 0 with dy/dt not 0: at t = 0, dx/dt = 0 and dy/dt = -3. The expression 3t^2 - 3 is dy/dt, not dy/dx.
2.A particle moves in the plane with position (x(t), y(t)) = (6t, 4t^2). What is its speed at t = 1?
- A. 8
- B. 10
- C. 14
- D. 100
Réponse : B. 10
The velocity vector is (x'(t), y'(t)) = (6, 8t), which is (6, 8) at t = 1. Speed is the magnitude of the velocity vector: sqrt(6^2 + 8^2) = sqrt(100) = 10. The answer 14 adds the components, 100 forgets the square root, and 8 is only the vertical component of the velocity.
3.What is the area enclosed by the polar curve r = 1 + cos(theta) for 0 <= theta <= 2 pi?
- A. pi
- B. 2 pi
- C. 3 pi / 2
- D. 3 pi
Réponse : C. 3 pi / 2
The area in polar coordinates is (1/2) times the integral of r^2 d(theta). Here r^2 = 1 + 2 cos(theta) + cos^2(theta). Over a full turn, the integral of 1 is 2 pi, the integral of 2 cos(theta) is 0 and the integral of cos^2(theta) is pi, so the total is 3 pi. Multiply by 1/2 to get 3 pi / 2. The answer 3 pi forgets the factor of 1/2, which is the most common slip on polar area.
4.A curve is given by x = t^2 and y = t^3 for t > 0. What is d^2y/dx^2 at t = 1?
- A. 3/4
- B. 3/2
- C. 3
- D. 3/8
Réponse : A. 3/4
First dy/dx = (3t^2)/(2t) = 3t/2. For the second derivative, differentiate dy/dx with respect to t and then divide by dx/dt again: d^2y/dx^2 = (3/2)/(2t) = 3/(4t). At t = 1 that is 3/4. The answer 3/2 is d/dt of dy/dx, which skips the second division by dx/dt, and that skipped division is the trap in this topic.
5.Which of the following series converge?
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- A. The sum from n = 1 to infinity of 1/n
- B. The sum from n = 1 to infinity of 1/n^2
- C. The sum from n = 1 to infinity of (-1)^n / n
- D. The sum from n = 1 to infinity of n/(n + 1)
- E. The sum from n = 0 to infinity of (2/3)^n
Réponse : B. The sum from n = 1 to infinity of 1/n^2, C. The sum from n = 1 to infinity of (-1)^n / n, E. The sum from n = 0 to infinity of (2/3)^n
The sum of 1/n^2 is a p-series with p = 2, which is greater than 1, so it converges. The sum of (-1)^n / n passes the alternating series test, because the terms shrink to 0 and decrease in size, so it converges, but only conditionally. The geometric series with ratio 2/3 converges because the ratio is between -1 and 1. The harmonic series 1/n is a p-series with p = 1 and diverges. The terms n/(n + 1) approach 1, not 0, so the series diverges by the nth term test.
6.What is the interval of convergence of the series: the sum from n = 1 to infinity of (x - 2)^n / (n * 3^n)?
- A. [-1, 5)
- B. (-1, 5)
- C. (-1, 5]
- D. [-1, 5]
Réponse : A. [-1, 5)
The ratio test gives |x - 2|/3 < 1, so the radius is 3 and the series is centered at 2, which makes the open interval (-1, 5). Now check each endpoint separately. At x = 5 the terms are 3^n / (n * 3^n) = 1/n, the harmonic series, which diverges. At x = -1 the terms are (-3)^n / (n * 3^n) = (-1)^n / n, the alternating harmonic series, which converges. So the interval includes -1 and excludes 5.
7.What is the coefficient of x^3 in the Maclaurin series for e^(2x)?
- A. 1/6
- B. 8
- C. 4/3
- D. 2/3
Réponse : C. 4/3
Start from e^u = 1 + u + u^2/2! + u^3/3! + ... and substitute u = 2x. The x^3 term is (2x)^3 / 3! = 8x^3 / 6 = (4/3) x^3. The coefficient 1/6 forgets to cube the 2, and 8 is f'''(0), the third derivative at 0, before dividing by 3 factorial. Maclaurin coefficients are f^(n)(0) / n!.
8.Complete the sentence.
Substituting -x^2 into the geometric series gives 1/(1 + x^2) = 1 - x^2 + _____ - x^6 + ... , and integrating term by term gives the series arctan x = x - _____ + x^5/5 - ... .
Options pour le trou 1 : x^3, x^4, x^6, x^2
Options pour le trou 2 : x^3/2, x^3, x^3/3, x^2/2
Réponse : x^4, x^3/3
The geometric series 1/(1 - u) = 1 + u + u^2 + u^3 + ... with u = -x^2 gives 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ..., so the missing term is x^4. Integrating term by term raises each power by one and divides by the new power: x - x^3/3 + x^5/5 - ... . That is the series for arctan x, because the derivative of arctan x is 1/(1 + x^2) and arctan 0 = 0 fixes the constant of integration.
9.Complete the sentence.
The alternating series for the sum from n = 1 to infinity of (-1)^(n+1) / n^2 is approximated by its first 3 terms. The alternating series error bound says the error is at most _____, the size of the _____.
Options pour le trou 1 : 1/9, 1/16, 1/4, 1/3
Options pour le trou 2 : last term used, first omitted term, second omitted term, sum of all omitted terms
Réponse : 1/16, first omitted term
The terms 1/n^2 decrease to 0, so the alternating series error bound applies: the error from stopping after a term is no larger than the absolute value of the first omitted term. After 3 terms, the first omitted term is the fourth, 1/4^2 = 1/16. The value 1/9 is the last term used, not the first one left out. The true error is the sum of all omitted terms, and the bound says that sum is no bigger than the first one in size.
10.Euler's method with a step size of 0.5 is applied to dy/dx = x + y with y(0) = 1. What is the approximation of y(1)?
- A. 2
- B. 2.25
- C. about 3.44
- D. 2.5
Réponse : D. 2.5
Step 1: the slope at (0, 1) is 0 + 1 = 1, so y(0.5) is about 1 + 0.5(1) = 1.5. Step 2: the slope at (0.5, 1.5) is 0.5 + 1.5 = 2, so y(1) is about 1.5 + 0.5(2) = 2.5. The answer 2 is a single step of size 1, and 2.25 reuses the old y-value for the second slope. The exact solution, y = 2e^x - x - 1, gives about 3.44 at x = 1. Euler's method underestimates here because the solution is concave up, so each tangent line lies below the curve.
11.A population satisfies dP/dt = 0.2 P (1 - P/500) with P(0) = 50. Which statements are true?
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- A. The carrying capacity is 500
- B. The population grows fastest when P = 250
- C. P(t) is increasing for all t >= 0
- D. The graph of P is concave up for all t > 0
- E. dP/dt is largest at t = 0
Réponse : A. The carrying capacity is 500, B. The population grows fastest when P = 250, C. P(t) is increasing for all t >= 0
This is a logistic equation, dP/dt = kP(1 - P/K), so K = 500 is the carrying capacity. As a function of P, the rate 0.2P(1 - P/500) is a downward parabola with its peak halfway to K, at P = 250, where the rate is 25. The population stays between 50 and 500, so dP/dt is positive and P is always increasing. The graph is concave up while P is below 250 and concave down after that, so it is not concave up for all t. At t = 0 the rate is only 0.2(50)(0.9) = 9, far below the maximum.
12.What is the value of the integral of x ln x dx from x = 1 to x = e?
- A. (e^2 - 1)/4
- B. e^2 / 2
- C. (e^2 + 1)/2
- D. (e^2 + 1)/4
Réponse : D. (e^2 + 1)/4
Use integration by parts with u = ln x and dv = x dx, so du = dx/x and v = x^2/2. The antiderivative is (x^2/2) ln x - the integral of x/2 dx = (x^2/2) ln x - x^2/4. At x = e that is e^2/2 - e^2/4 = e^2/4. At x = 1 it is 0 - 1/4 = -1/4. Subtracting the lower value gives e^2/4 + 1/4 = (e^2 + 1)/4. The answer (e^2 - 1)/4 comes from dropping the minus sign when subtracting -1/4.
13.What is the integral of 1/((x - 1)(x + 2)) dx?
- A. (1/3) ln|(x - 1)/(x + 2)| + C
- B. ln|(x - 1)(x + 2)| + C
- C. (1/3) ln|(x - 1)(x + 2)| + C
- D. 3 ln|(x - 1)/(x + 2)| + C
Réponse : A. (1/3) ln|(x - 1)/(x + 2)| + C
Split the fraction: 1/((x - 1)(x + 2)) = A/(x - 1) + B/(x + 2), so 1 = A(x + 2) + B(x - 1). Setting x = 1 gives 1 = 3A, so A = 1/3. Setting x = -2 gives 1 = -3B, so B = -1/3. Integrating gives (1/3) ln|x - 1| - (1/3) ln|x + 2| + C = (1/3) ln|(x - 1)/(x + 2)| + C. The log of a product would come from adding the two terms, but the second term has a minus sign, so the logs combine as a quotient.
14.Complete the sentence.
The improper integral of 1/x^2 dx from x = 1 to infinity equals _____, and the improper integral of 1/x^p dx from x = 1 to infinity converges exactly when p is _____ 1.
Options pour le trou 1 : 0, 1, 2, The integral diverges
Options pour le trou 2 : less than, at most, equal to, greater than
Réponse : 1, greater than
Write the improper integral as a limit: the limit as b approaches infinity of the integral from 1 to b, which is the limit of (1 - 1/b) = 1. For general p, the antiderivative x^(1-p)/(1-p) goes to 0 as b grows only when 1 - p is negative, that is, when p is greater than 1. At p = 1 the antiderivative is ln b, which grows without bound, so the integral diverges, just like the harmonic series.
15.What is the length of the curve y = (2/3) x^(3/2) from x = 0 to x = 3?
- A. 3
- B. 14/3
- C. 7/3
- D. 16/3
Réponse : B. 14/3
Arc length is the integral of sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx. Here dy/dx = x^(1/2), so 1 + (dy/dx)^2 = 1 + x. The integral of sqrt(1 + x) from 0 to 3 is (2/3)(1 + x)^(3/2) evaluated from 0 to 3, which is (2/3)(8 - 1) = 14/3. The curve starts at the origin and moves 3 units to the right, so the length has to be more than 3, and 14/3 is about 4.67.

À quoi ressemble l'examen AP Calculus BC et ce qui est propre à la BC

L'examen AP Calculus BC est noté de 1 à 5 et comporte deux sections de poids égal. Selon le College Board, la Section I compte 42 questions à choix multiple en 1 heure 40 : la Partie A compte 29 questions en 62 minutes sans calculatrice, et la Partie B compte 13 questions en 38 minutes où une calculatrice graphique est requise. La Section II compte 6 questions à réponse rédigée en 1 heure 30 : la Partie A compte 2 problèmes en 30 minutes qui demandent une calculatrice graphique et la Partie B compte 4 problèmes en 60 minutes qui n'en demandent pas. L'examen est hybride numérique : tu réponds aux questions à choix multiple dans l'application Bluebook et tu rédiges à la main tes réponses de la section rédigée dans un cahier papier. L'examen de mai 2027 a lieu le lundi 10 mai, en Session 1. D'anciens PDF et des livres de préparation décrivent 45 questions à choix multiple en 1 heure 45, ce qui est le format d'avant la mise à jour, alors fie-toi à la page actuelle du College Board.

La BC couvre le même terrain que la AB et va plus loin, en dix unités. Les unités 1 à 8 portent les mêmes noms qu'en AB, mais la BC y ajoute des sujets : l'intégration par parties, les fractions partielles et les intégrales impropres dans l'unité 6, la méthode d'Euler et les modèles logistiques dans l'unité 7, et la longueur d'arc dans l'unité 8. Elle ajoute ensuite deux unités entières, l'unité 9 sur les équations paramétriques, les coordonnées polaires et les fonctions à valeurs vectorielles, et l'unité 10 sur les suites et les séries infinies. Le College Board donne à l'unité 9 environ 10 à 15 pour cent de la section à choix multiple, et aux unités 6 et 10 environ 15 à 20 pour cent chacune : ce sont les unités où une faiblesse coûte le plus.

Un 5 est la meilleure note, mais ce que vaut une note dépend de chaque université. Certaines accordent des crédits pour un 3, beaucoup demandent un 4 ou un 5, et les règles varient selon le cours. Renseigne-toi sur les établissements qui t'intéressent avant de décider jusqu'où pousser.

Comment utiliser cet échantillon, et le faire sur papier

Cette page laisse les limites, les règles de dérivation et les intégrales de base au test d'entraînement AP Calculus AB, parce que les élèves de BC en ont besoin aussi et que ce n'est pas ce qui distingue la BC. Les 15 questions ici sont propres à la BC : quatre sur les fonctions paramétriques, polaires et à valeurs vectorielles, cinq sur les séries et les polynômes de Taylor, trois sur les techniques d'intégration et les intégrales impropres de l'unité 6, deux sur la méthode d'Euler et la croissance logistique, et une sur la longueur d'arc. Les séries occupent un tiers de l'échantillon, plus que leur part de l'examen réel, parce qu'elles contiennent le plus d'idées distinctes : tests de convergence, intervalles de convergence, séries de Taylor et bornes d'erreur.

Fais-le d'une traite avec du brouillon et sans calculatrice, puis lis l'explication de chaque question, y compris celles que tu as réussies. Traite une erreur comme un thème. Si tu as raté la question sur l'intervalle de convergence et celle sur l'erreur d'une série alternée, la lacune est probablement de savoir quel test utiliser et comment vérifier les bornes, et non deux faits séparés. Les maths sont écrites en texte simple ici, donc x^2 veut dire x au carré, e^(2x) veut dire e à la puissance 2x et ln x est le logarithme népérien.

Si tu préfères travailler sur papier, utilise le bouton Télécharger en PDF au-dessus des questions. Le fichier contient les 15 questions avec un corrigé sur la dernière page. Il demande un compte StudyPDF gratuit, alors que jouer en ligne est gratuit. Les questions sont originales et écrites sur le plan de cours publié. Ce ne sont pas des questions d'examen publiées, et cet échantillon ne fait pas travailler la section à réponse rédigée, alors complète-le avec d'anciennes questions rédigées du College Board.

Comment StudyPDF crée des tests AP Calculus BC à partir de tes notes de cours

Quinze questions peuvent te montrer quelle unité est fragile. Elles ne suffisent pas à te préparer, et une banque générique correspond rarement aux types de problèmes et aux notations que ton enseignant utilise vraiment.

StudyPDF part plutôt de ton matériel. Importe les chapitres de ton manuel, les diapos de ton enseignant, une feuille de problèmes corrigés ou ton dossier de révision, appuie sur Nouveau contenu, et StudyPDF crée des tests d'entraînement à partir de ces pages précises. Chaque question est ancrée dans ton matériel et chaque explication indique d'où vient la réponse, tu peux donc revenir directement à la page quand une étape n'est pas claire.

Tu n'as rien à importer pour commencer. Nomme plutôt un thème, par exemple le test du rapport (ratio test) ou les bornes d'erreur des séries de Taylor, et Bo le prépare avec ses concepts clés pour que tu puisses créer des quiz et des cartes mémo dessus. Tes résultats suivent les concepts que tu rates sans arrêt, et le prochain test d'entraînement peut les cibler. Commencer est gratuit.

Rédigé par l'équipe StudyPDF. Mis à jour le 19 août 2026.

Bon à savoir

Ce test d'entraînement AP Calculus BC est-il gratuit ?

Oui. Les 15 questions, l'écran de score et chaque explication détaillée sont gratuits, et le quiz tourne dans ton navigateur. Il te faut un compte StudyPDF gratuit pour télécharger le test en PDF avec un corrigé ou pour créer d'autres tests d'entraînement à partir de tes propres notes.

Qui a écrit ces questions ?

L'équipe StudyPDF a rédigé chaque question et chaque explication, en suivant les sujets propres à la BC du plan de cours AP Calculus BC publié. Ce sont des items originaux, pas des questions d'examen réelles ou publiées, et StudyPDF n'est pas affilié au College Board, qui ne cautionne pas cette page.

En quoi est-ce différent du vrai examen AP Calculus BC ?

La vraie section à choix multiple a une seule bonne réponse par question et se divise en une partie sans calculatrice graphique et une partie avec. Cet échantillon utilise aussi les réponses multiples et les textes à trous, et chaque question se fait à la main. Il ne couvre que ce que la BC ajoute à la AB : pour les limites, les règles de dérivation et les intégrales de base, utilise le test d'entraînement AP Calculus AB, et il ne fait pas travailler les six questions à réponse rédigée.

Puis-je avoir des tests d'entraînement créés à partir de mes propres supports de cours ?

Oui. Importe les chapitres de ton manuel, tes diapos, tes feuilles de problèmes ou ton dossier de révision dans StudyPDF et tu peux créer des tests d'entraînement à partir de ces pages précises, avec des explications reliées à tes sources. Si tu n'as rien à importer, nomme plutôt un thème ou une unité.

À propos de ce test

À quoi ressemble l'examen AP Calculus BC et ce qui est propre à la BC

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