AP Calculus BC Übungstest: BC-Themen
- 15 Fragen
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Die Fragen des Tests bleiben auf Englisch.
A curve is given by x = t^2 + 1 and y = t^3 - 3t. Which statements are true?
Wähl alles aus, was zutrifft.
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Über diesen Test
Das hier ist ein kostenloser Auszug mit 15 Fragen im Stil des Multiple-Choice-Teils der AP Calculus BC, geschrieben vom StudyPDF-Team. Er konzentriert sich auf das, was BC gegenüber AB dazubringt: parametrische, polare und vektorwertige Funktionen, unendliche Reihen und Taylor-Polynome, das Euler-Verfahren (Euler's method) und logistisches Wachstum, partielle Integration, Partialbruchzerlegung, uneigentliche Integrale und die Bogenlänge. Er mischt Multiple Choice, Mehrfachauswahl und Lückentext, und jede Frage lässt sich ohne Taschenrechner lösen. Beantworte alle 15 Fragen, dann siehst du dein Ergebnis und den Lösungsweg zu jeder Frage.
Alle 15 Fragen auf einen Blick
Lieber lesen statt spielen? Unten stehen alle Fragen aus dem Auszug. Antworten und Erklärungen bleiben eingeklappt, bis du sie öffnest.
1.A curve is given by x = t^2 + 1 and y = t^3 - 3t. Which statements are true?
Wähl alles aus, was zutrifft.
- A. dy/dx = 9/4 when t = 2
- B. The curve has a horizontal tangent when t = 1
- C. The curve has a vertical tangent when t = 0
- D. The curve has a horizontal tangent at exactly one value of t
- E. dy/dx = 3t^2 - 3 for all t
Antwort: A. dy/dx = 9/4 when t = 2, B. The curve has a horizontal tangent when t = 1, C. The curve has a vertical tangent when t = 0
For a parametric curve, dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = (3t^2 - 3)/(2t). At t = 2 that is 9/4. A horizontal tangent needs dy/dt = 0 with dx/dt not 0: dy/dt = 0 at t = 1 and t = -1, and dx/dt is 2 and -2 there, so there are two such values, not one. A vertical tangent needs dx/dt = 0 with dy/dt not 0: at t = 0, dx/dt = 0 and dy/dt = -3. The expression 3t^2 - 3 is dy/dt, not dy/dx.
2.A particle moves in the plane with position (x(t), y(t)) = (6t, 4t^2). What is its speed at t = 1?
- A. 8
- B. 10
- C. 14
- D. 100
Antwort: B. 10
The velocity vector is (x'(t), y'(t)) = (6, 8t), which is (6, 8) at t = 1. Speed is the magnitude of the velocity vector: sqrt(6^2 + 8^2) = sqrt(100) = 10. The answer 14 adds the components, 100 forgets the square root, and 8 is only the vertical component of the velocity.
3.What is the area enclosed by the polar curve r = 1 + cos(theta) for 0 <= theta <= 2 pi?
- A. pi
- B. 2 pi
- C. 3 pi / 2
- D. 3 pi
Antwort: C. 3 pi / 2
The area in polar coordinates is (1/2) times the integral of r^2 d(theta). Here r^2 = 1 + 2 cos(theta) + cos^2(theta). Over a full turn, the integral of 1 is 2 pi, the integral of 2 cos(theta) is 0 and the integral of cos^2(theta) is pi, so the total is 3 pi. Multiply by 1/2 to get 3 pi / 2. The answer 3 pi forgets the factor of 1/2, which is the most common slip on polar area.
4.A curve is given by x = t^2 and y = t^3 for t > 0. What is d^2y/dx^2 at t = 1?
- A. 3/4
- B. 3/2
- C. 3
- D. 3/8
Antwort: A. 3/4
First dy/dx = (3t^2)/(2t) = 3t/2. For the second derivative, differentiate dy/dx with respect to t and then divide by dx/dt again: d^2y/dx^2 = (3/2)/(2t) = 3/(4t). At t = 1 that is 3/4. The answer 3/2 is d/dt of dy/dx, which skips the second division by dx/dt, and that skipped division is the trap in this topic.
5.Which of the following series converge?
Wähl alles aus, was zutrifft.
- A. The sum from n = 1 to infinity of 1/n
- B. The sum from n = 1 to infinity of 1/n^2
- C. The sum from n = 1 to infinity of (-1)^n / n
- D. The sum from n = 1 to infinity of n/(n + 1)
- E. The sum from n = 0 to infinity of (2/3)^n
Antwort: B. The sum from n = 1 to infinity of 1/n^2, C. The sum from n = 1 to infinity of (-1)^n / n, E. The sum from n = 0 to infinity of (2/3)^n
The sum of 1/n^2 is a p-series with p = 2, which is greater than 1, so it converges. The sum of (-1)^n / n passes the alternating series test, because the terms shrink to 0 and decrease in size, so it converges, but only conditionally. The geometric series with ratio 2/3 converges because the ratio is between -1 and 1. The harmonic series 1/n is a p-series with p = 1 and diverges. The terms n/(n + 1) approach 1, not 0, so the series diverges by the nth term test.
6.What is the interval of convergence of the series: the sum from n = 1 to infinity of (x - 2)^n / (n * 3^n)?
- A. [-1, 5)
- B. (-1, 5)
- C. (-1, 5]
- D. [-1, 5]
Antwort: A. [-1, 5)
The ratio test gives |x - 2|/3 < 1, so the radius is 3 and the series is centered at 2, which makes the open interval (-1, 5). Now check each endpoint separately. At x = 5 the terms are 3^n / (n * 3^n) = 1/n, the harmonic series, which diverges. At x = -1 the terms are (-3)^n / (n * 3^n) = (-1)^n / n, the alternating harmonic series, which converges. So the interval includes -1 and excludes 5.
7.What is the coefficient of x^3 in the Maclaurin series for e^(2x)?
- A. 1/6
- B. 8
- C. 4/3
- D. 2/3
Antwort: C. 4/3
Start from e^u = 1 + u + u^2/2! + u^3/3! + ... and substitute u = 2x. The x^3 term is (2x)^3 / 3! = 8x^3 / 6 = (4/3) x^3. The coefficient 1/6 forgets to cube the 2, and 8 is f'''(0), the third derivative at 0, before dividing by 3 factorial. Maclaurin coefficients are f^(n)(0) / n!.
8.Complete the sentence.
Substituting -x^2 into the geometric series gives 1/(1 + x^2) = 1 - x^2 + _____ - x^6 + ... , and integrating term by term gives the series arctan x = x - _____ + x^5/5 - ... .
Optionen für Lücke 1: x^3, x^4, x^6, x^2
Optionen für Lücke 2: x^3/2, x^3, x^3/3, x^2/2
Antwort: x^4, x^3/3
The geometric series 1/(1 - u) = 1 + u + u^2 + u^3 + ... with u = -x^2 gives 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ..., so the missing term is x^4. Integrating term by term raises each power by one and divides by the new power: x - x^3/3 + x^5/5 - ... . That is the series for arctan x, because the derivative of arctan x is 1/(1 + x^2) and arctan 0 = 0 fixes the constant of integration.
9.Complete the sentence.
The alternating series for the sum from n = 1 to infinity of (-1)^(n+1) / n^2 is approximated by its first 3 terms. The alternating series error bound says the error is at most _____, the size of the _____.
Optionen für Lücke 1: 1/9, 1/16, 1/4, 1/3
Optionen für Lücke 2: last term used, first omitted term, second omitted term, sum of all omitted terms
Antwort: 1/16, first omitted term
The terms 1/n^2 decrease to 0, so the alternating series error bound applies: the error from stopping after a term is no larger than the absolute value of the first omitted term. After 3 terms, the first omitted term is the fourth, 1/4^2 = 1/16. The value 1/9 is the last term used, not the first one left out. The true error is the sum of all omitted terms, and the bound says that sum is no bigger than the first one in size.
10.Euler's method with a step size of 0.5 is applied to dy/dx = x + y with y(0) = 1. What is the approximation of y(1)?
- A. 2
- B. 2.25
- C. about 3.44
- D. 2.5
Antwort: D. 2.5
Step 1: the slope at (0, 1) is 0 + 1 = 1, so y(0.5) is about 1 + 0.5(1) = 1.5. Step 2: the slope at (0.5, 1.5) is 0.5 + 1.5 = 2, so y(1) is about 1.5 + 0.5(2) = 2.5. The answer 2 is a single step of size 1, and 2.25 reuses the old y-value for the second slope. The exact solution, y = 2e^x - x - 1, gives about 3.44 at x = 1. Euler's method underestimates here because the solution is concave up, so each tangent line lies below the curve.
11.A population satisfies dP/dt = 0.2 P (1 - P/500) with P(0) = 50. Which statements are true?
Wähl alles aus, was zutrifft.
- A. The carrying capacity is 500
- B. The population grows fastest when P = 250
- C. P(t) is increasing for all t >= 0
- D. The graph of P is concave up for all t > 0
- E. dP/dt is largest at t = 0
Antwort: A. The carrying capacity is 500, B. The population grows fastest when P = 250, C. P(t) is increasing for all t >= 0
This is a logistic equation, dP/dt = kP(1 - P/K), so K = 500 is the carrying capacity. As a function of P, the rate 0.2P(1 - P/500) is a downward parabola with its peak halfway to K, at P = 250, where the rate is 25. The population stays between 50 and 500, so dP/dt is positive and P is always increasing. The graph is concave up while P is below 250 and concave down after that, so it is not concave up for all t. At t = 0 the rate is only 0.2(50)(0.9) = 9, far below the maximum.
12.What is the value of the integral of x ln x dx from x = 1 to x = e?
- A. (e^2 - 1)/4
- B. e^2 / 2
- C. (e^2 + 1)/2
- D. (e^2 + 1)/4
Antwort: D. (e^2 + 1)/4
Use integration by parts with u = ln x and dv = x dx, so du = dx/x and v = x^2/2. The antiderivative is (x^2/2) ln x - the integral of x/2 dx = (x^2/2) ln x - x^2/4. At x = e that is e^2/2 - e^2/4 = e^2/4. At x = 1 it is 0 - 1/4 = -1/4. Subtracting the lower value gives e^2/4 + 1/4 = (e^2 + 1)/4. The answer (e^2 - 1)/4 comes from dropping the minus sign when subtracting -1/4.
13.What is the integral of 1/((x - 1)(x + 2)) dx?
- A. (1/3) ln|(x - 1)/(x + 2)| + C
- B. ln|(x - 1)(x + 2)| + C
- C. (1/3) ln|(x - 1)(x + 2)| + C
- D. 3 ln|(x - 1)/(x + 2)| + C
Antwort: A. (1/3) ln|(x - 1)/(x + 2)| + C
Split the fraction: 1/((x - 1)(x + 2)) = A/(x - 1) + B/(x + 2), so 1 = A(x + 2) + B(x - 1). Setting x = 1 gives 1 = 3A, so A = 1/3. Setting x = -2 gives 1 = -3B, so B = -1/3. Integrating gives (1/3) ln|x - 1| - (1/3) ln|x + 2| + C = (1/3) ln|(x - 1)/(x + 2)| + C. The log of a product would come from adding the two terms, but the second term has a minus sign, so the logs combine as a quotient.
14.Complete the sentence.
The improper integral of 1/x^2 dx from x = 1 to infinity equals _____, and the improper integral of 1/x^p dx from x = 1 to infinity converges exactly when p is _____ 1.
Optionen für Lücke 1: 0, 1, 2, The integral diverges
Optionen für Lücke 2: less than, at most, equal to, greater than
Antwort: 1, greater than
Write the improper integral as a limit: the limit as b approaches infinity of the integral from 1 to b, which is the limit of (1 - 1/b) = 1. For general p, the antiderivative x^(1-p)/(1-p) goes to 0 as b grows only when 1 - p is negative, that is, when p is greater than 1. At p = 1 the antiderivative is ln b, which grows without bound, so the integral diverges, just like the harmonic series.
15.What is the length of the curve y = (2/3) x^(3/2) from x = 0 to x = 3?
- A. 3
- B. 14/3
- C. 7/3
- D. 16/3
Antwort: B. 14/3
Arc length is the integral of sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx. Here dy/dx = x^(1/2), so 1 + (dy/dx)^2 = 1 + x. The integral of sqrt(1 + x) from 0 to 3 is (2/3)(1 + x)^(3/2) evaluated from 0 to 3, which is (2/3)(8 - 1) = 14/3. The curve starts at the origin and moves 3 units to the right, so the length has to be more than 3, and 14/3 is about 4.67.
Wie die AP Calculus BC aussieht und was nur in BC drankommt
Die AP Calculus BC wird mit 1 bis 5 bewertet und hat zwei Teile mit gleichem Gewicht. Laut College Board hat Section I 42 Multiple-Choice-Fragen in 1 Stunde 40 Minuten: Part A hat 29 Fragen in 62 Minuten ohne Taschenrechner, und Part B hat 13 Fragen in 38 Minuten, in denen ein grafikfähiger Taschenrechner (graphing calculator) vorgeschrieben ist. Section II besteht aus 6 Free-Response-Aufgaben in 1 Stunde 30 Minuten: Part A hat 2 Aufgaben in 30 Minuten, die einen grafikfähigen Taschenrechner brauchen, und Part B hat 4 Aufgaben in 60 Minuten ohne Taschenrechner. Die Prüfung ist hybrid digital: Die Multiple-Choice-Fragen beantwortest du in der Bluebook-App, die Free-Response-Antworten schreibst du von Hand in ein Heft aus Papier. Die Prüfung im Mai 2027 ist am Montag, dem 10. Mai, in Session 1. Ältere PDFs und Lernbücher beschreiben 45 Multiple-Choice-Fragen in 1 Stunde 45 Minuten, das ist das Format vor der Umstellung, verlass dich also auf die aktuelle Seite des College Board.
BC deckt denselben Stoff ab wie AB und geht weiter, in zehn Einheiten. Die Einheiten 1 bis 8 haben dieselben Namen wie in AB, aber BC fügt darin Themen hinzu: partielle Integration, Partialbruchzerlegung und uneigentliche Integrale in Einheit 6, das Euler-Verfahren und logistische Modelle in Einheit 7 und die Bogenlänge in Einheit 8. Dazu kommen zwei ganze Einheiten, Einheit 9 zu parametrischen Gleichungen, Polarkoordinaten und vektorwertigen Funktionen und Einheit 10 zu unendlichen Folgen und Reihen. Das College Board gibt Einheit 9 grob 10 bis 15 Prozent des Multiple-Choice-Teils und den Einheiten 6 und 10 grob je 15 bis 20 Prozent, in diesen Einheiten kostet eine Schwachstelle also am meisten.
Eine 5 ist das beste Ergebnis, aber was ein Ergebnis wert ist, entscheidet jede Hochschule selbst. Manche rechnen schon eine 3 an, viele verlangen eine 4 oder eine 5, und die Regeln unterscheiden sich je nach Kurs. Schau bei den Hochschulen, die für dich zählen, nach, bevor du entscheidest, wie viel Druck du machst.
So nutzt du diesen Auszug und wie du ihn auf Papier machst
Diese Seite überlässt Grenzwerte, Ableitungsregeln und Grundintegrale dem AP Calculus AB Übungstest, denn BC-Schülerinnen und -Schüler brauchen sie auch, und sie sind nicht das, was BC ausmacht. Die 15 Fragen hier gehören nur zu BC: vier zu parametrischen, polaren und vektorwertigen Funktionen, fünf zu Reihen und Taylor-Polynomen, drei zu Integrationstechniken und uneigentlichen Integralen aus Einheit 6, zwei zum Euler-Verfahren und logistischen Wachstum und eine zur Bogenlänge. Reihen bekommen ein Drittel des Auszugs, mehr als ihr Anteil in der echten Prüfung, weil sie die meisten getrennten Ideen enthalten: Konvergenzkriterien, Konvergenzintervalle, Taylor-Reihen und Fehlerschranken.
Mach ihn in einem Durchgang mit Schmierpapier und ohne Taschenrechner, und lies dann die Erklärung zu jeder Frage, auch zu denen, die du richtig hattest. Nimm einen Fehler als Thema. Wenn du das Konvergenzintervall und die Fehlerfrage zur alternierenden Reihe verpasst hast, liegt die Lücke wahrscheinlich darin, welches Kriterium du nehmen und wie du die Randpunkte prüfen musst, und nicht in zwei getrennten Fakten. Mathe steht hier als einfacher Text: x^2 heißt x zum Quadrat, e^(2x) heißt e hoch 2x, und ln x ist der natürliche Logarithmus.
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Geschrieben vom StudyPDF-Team. Zuletzt aktualisiert am 19. August 2026.
Gut zu wissen
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Wer hat diese Fragen geschrieben?
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