AP Calculus AB Übungstest: Units 1 bis 8
- 15 Fragen
- Etwa 15 Min.
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Die Fragen des Tests bleiben auf Englisch.
Which of the following limits are equal to 6?
Wähl alles aus, was zutrifft.
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Über diesen Test
Das hier ist ein kostenloser Auszug mit 15 Fragen im Stil des Multiple-Choice-Teils von AP Calculus AB, geschrieben vom StudyPDF-Team. Er deckt alle acht Units ab, von Grenzwerten und Stetigkeit über Ableitungen, Anwendungen der Differentiation und Integration bis zu Differentialgleichungen, und mischt Multiple Choice, Mehrfachauswahl und Lückentext. Jede Frage lässt sich ohne Taschenrechner lösen. Beantworte alle 15, dann siehst du dein Ergebnis und die ausführliche Erklärung zu jeder Frage.
Alle 15 Fragen auf einen Blick
Lieber lesen statt spielen? Unten stehen alle Fragen aus dem Auszug. Antworten und Erklärungen bleiben eingeklappt, bis du sie öffnest.
1.Which of the following limits are equal to 6?
Wähl alles aus, was zutrifft.
- A. lim x->0 of 6/x
- B. lim x->3 of (x^2 - 9)/(x - 3)
- C. lim x->0 of sin(6x)/x
- D. lim x->6 of (x - 6)/x
- E. lim x->infinity of (6x^2 + 1)/(x^2 + 5)
Antwort: B. lim x->3 of (x^2 - 9)/(x - 3), C. lim x->0 of sin(6x)/x, E. lim x->infinity of (6x^2 + 1)/(x^2 + 5)
For the second, factor x^2 - 9 into (x - 3)(x + 3), cancel the common factor and substitute: x + 3 becomes 6. For the third, sin(kx)/x approaches k as x approaches 0, and here k is 6. For the last, divide top and bottom by x^2: the limit is 6/1 = 6 because the leading coefficients decide the end behavior. The first does not exist, since 6/x grows without bound from the right and falls without bound from the left. The fourth is 0/6 = 0 at x = 6.
2.Let f(x) = x^2 + 1 for x < 2 and f(x) = kx - 1 for x >= 2. For what value of k is f continuous at x = 2?
- A. 2
- B. 3
- C. 4
- D. 5
Antwort: B. 3
Continuity at x = 2 needs the left limit, the right limit and f(2) to agree. From the left, x^2 + 1 approaches 4 + 1 = 5. At and from the right, kx - 1 gives 2k - 1. Setting 2k - 1 = 5 gives k = 3. Always check all three pieces: a function can have equal one-sided limits and still be undefined or different at the point itself.
3.If f(x) = x * e^x, what is f'(1)?
- A. e
- B. e + 1
- C. 2e + 1
- D. 2e
Antwort: D. 2e
Use the product rule: the derivative of x times e^x is (1)(e^x) + (x)(e^x) = e^x (1 + x). At x = 1 that is e * 2 = 2e. The common slip is to differentiate each factor and multiply the results, which gives e^x and loses the x e^x term.
4.What is the value of lim h->0 of ((2 + h)^3 - 8)/h ?
- A. 0
- B. 8
- C. 12
- D. The limit does not exist
Antwort: C. 12
This is the limit definition of the derivative: it equals f'(2) for f(x) = x^3, and f'(x) = 3x^2 gives 3(4) = 12. You can also expand directly: (2 + h)^3 = 8 + 12h + 6h^2 + h^3, so the numerator is 12h + 6h^2 + h^3. Dividing by h leaves 12 + 6h + h^2, which approaches 12. Direct substitution gives 0/0, which means the form is indeterminate, not that the limit is 0.
5.If y = (3x + 1)^4, what is dy/dx?
- A. 12(3x + 1)^3
- B. 4(3x + 1)^3
- C. 12(3x + 1)^4
- D. 3(3x + 1)^4
Antwort: A. 12(3x + 1)^3
Apply the chain rule. The outside function is something to the 4th power, so its derivative is 4 times the inside raised to the 3rd power. Then multiply by the derivative of the inside, which is 3. That gives 4 * 3 * (3x + 1)^3 = 12(3x + 1)^3. The answer 4(3x + 1)^3 is what you get if you forget the factor from the inside function.
6.The curve x^2 + y^2 = 25 passes through the point (3, 4). What is dy/dx at that point?
- A. 3/4
- B. -3/4
- C. 4/3
- D. -4/3
Antwort: B. -3/4
Differentiate both sides with respect to x and remember that y depends on x: 2x + 2y(dy/dx) = 0. Solving gives dy/dx = -x/y. At (3, 4) that is -3/4. It also makes geometric sense: the radius to (3, 4) has slope 4/3, and a tangent to a circle is perpendicular to the radius, so its slope is the negative reciprocal, -3/4.
7.A particle moves along a line with position s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t for t >= 0. Which statements are true?
Wähl alles aus, was zutrifft.
- A. The acceleration is positive at t = 1
- B. The particle is at rest at t = 1 and at t = 3
- C. The particle is speeding up at t = 2
- D. The particle is moving to the left at t = 2
- E. The particle is slowing down at t = 0.5
Antwort: B. The particle is at rest at t = 1 and at t = 3, D. The particle is moving to the left at t = 2, E. The particle is slowing down at t = 0.5
Velocity is s'(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3), which is 0 at t = 1 and t = 3. Acceleration is s''(t) = 6t - 12. At t = 2, velocity is 3(1)(-1) = -3, so the particle moves left, and acceleration is 0, so it is neither speeding up nor slowing down at that instant. At t = 1, acceleration is -6, which is negative. At t = 0.5, velocity is positive (3.75) and acceleration is negative (-9), so the signs differ and the particle is slowing down. A particle speeds up only when velocity and acceleration have the same sign.
8.The radius of a circle is increasing at a constant rate of 2 cm per second. How fast is the area increasing at the instant the radius is 5 cm?
- A. 10 pi cm^2 per second
- B. 25 pi cm^2 per second
- C. 100 pi cm^2 per second
- D. 20 pi cm^2 per second
Antwort: D. 20 pi cm^2 per second
Write the relationship, A = pi r^2, then differentiate with respect to time: dA/dt = 2 pi r (dr/dt). Only now substitute the numbers: 2 pi (5)(2) = 20 pi. Substituting r = 5 before differentiating is the classic related rates mistake, because it turns a changing quantity into a constant. The answer 10 pi comes from leaving out dr/dt, and 25 pi is the area itself at that instant.
9.For f(x) = x^2 on the interval [1, 3], the Mean Value Theorem guarantees a number c in (1, 3) where f'(c) equals the average rate of change. What is c?
- A. 1
- B. 1.5
- C. 2
- D. 2.5
Antwort: C. 2
The average rate of change is (f(3) - f(1))/(3 - 1) = (9 - 1)/2 = 4. Now solve f'(c) = 2c = 4, which gives c = 2. The theorem needs f to be continuous on [1, 3] and differentiable on (1, 3), and a polynomial meets both. It promises that such a c exists. It does not say how to find it, so you still have to solve for it.
10.Let f(x) = x^3 - 3x. Which statements are true?
Wähl alles aus, was zutrifft.
- A. f is increasing on the interval (-1, 1)
- B. f has a local maximum at x = -1
- C. f is concave up on the interval (-infinity, 0)
- D. f has a point of inflection at x = 0
- E. f has a local minimum at x = -1
Antwort: B. f has a local maximum at x = -1, D. f has a point of inflection at x = 0
The first derivative is f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1). It is positive for x < -1, negative between -1 and 1, and positive for x > 1. So f rises, then falls, then rises: x = -1 is a local maximum and x = 1 is a local minimum, and f is decreasing on (-1, 1). The second derivative is f''(x) = 6x. It is negative for x < 0, so f is concave down there, and positive for x > 0. Because f'' changes sign at x = 0, that point is an inflection point.
11.Complete the sentence.
On the closed interval [0, 4], f(x) = x^2 - 4x + 1 has an absolute minimum value of _____ and an absolute maximum value of _____.
Optionen für Lücke 1: 1, -3, -4, -2
Optionen für Lücke 2: -3, 0, 1, 5
Antwort: -3, 1
Use the candidates test. Set f'(x) = 2x - 4 = 0 to get the critical point x = 2, where f(2) = 4 - 8 + 1 = -3. Then check the endpoints: f(0) = 1 and f(4) = 16 - 16 + 1 = 1. The smallest value is -3 and the largest is 1. On a closed interval the absolute extremes happen at a critical point or an endpoint, so skipping the endpoints is the usual way to lose this question.
12.Let g(x) be the integral of sqrt(t^2 + 9) dt from t = 0 to t = x. What is g'(4)?
- A. 5
- B. 4
- C. 12
- D. 25
Antwort: A. 5
This is the first part of the Fundamental Theorem of Calculus: when the upper limit is x, the derivative of the accumulated integral is the integrand evaluated at x. So g'(x) = sqrt(x^2 + 9), and g'(4) = sqrt(16 + 9) = sqrt(25) = 5. You never need to find an antiderivative, and trying to would be hard here anyway.
13.A left Riemann sum with three subintervals of equal width approximates the integral of f(x) = x^2 from x = 0 to x = 3. What is its value?
- A. 4
- B. 5
- C. 9
- D. 14
Antwort: B. 5
Each subinterval has width 1, and a left sum uses the left endpoint of each: x = 0, 1 and 2. The sum is 1 * (0 + 1 + 4) = 5. A right sum would use x = 1, 2 and 3 and give 1 + 4 + 9 = 14. The exact integral is 9, which lies between the two. Because x^2 is increasing on [0, 3], the left sum underestimates and the right sum overestimates.
14.Complete the sentence.
The definite integral of 3x^2 dx from x = 0 to x = 2 equals _____, so the average value of 3x^2 on that interval equals _____.
Optionen für Lücke 1: 4, 6, 8, 12
Optionen für Lücke 2: 2, 4, 6, 8
Antwort: 8, 4
An antiderivative of 3x^2 is x^3, so the integral is 2^3 - 0^3 = 8. The average value of a function on [a, b] is the integral divided by the length of the interval: 8/(2 - 0) = 4. Notice that the average value is not the average of the endpoint values. At the endpoints 3x^2 is 0 and 12, and their mean would be 6.
15.Complete the sentence.
The solution to the differential equation dy/dx = 2y with y(0) = 3 is y = _____ e^(_____x).
Optionen für Lücke 1: 1, 2, 3, 6
Optionen für Lücke 2: 1, 2, 3, 6
Antwort: 3, 2
This is exponential growth. Separate the variables: dy/y = 2 dx, so ln|y| = 2x + C, which gives y = A e^(2x). The initial condition y(0) = 3 means A e^0 = A = 3, so y = 3e^(2x). The rate constant 2 sits in the exponent and the starting value 3 sits in front. A quick check: differentiating 3e^(2x) gives 6e^(2x), which is 2 times y.
Wie die AP-Calculus-AB-Prüfung aussieht und wie sie gewichtet ist
Die AP-Calculus-AB-Prüfung wird mit 1 bis 5 bewertet und hat zwei gleich gewichtete Teile. Laut College Board sind Section I 42 Multiple-Choice-Fragen in 1 Stunde 40 Minuten: Part A hat 29 Fragen ohne grafikfähigen Taschenrechner und zählt 35 Prozent der Note, Part B hat 13 Fragen, bei denen für einige ein grafikfähiger Taschenrechner nötig ist, und zählt 15 Prozent. Section II sind 6 Freitextaufgaben in 1 Stunde 30 Minuten: Part A hat 2 Aufgaben, die einen grafikfähigen Taschenrechner brauchen, und Part B hat 4 Aufgaben ohne. Die Prüfung ist hybrid digital, du beantwortest die Multiple-Choice-Fragen also in der Bluebook-App und schreibst die Freitextantworten von Hand in ein Heft aus Papier. Ältere Wiederholungsbücher und Blogbeiträge nennen eine andere Zahl an Fragen und eine andere Dauer, verlass dich für Format und Termin also auf die aktuelle Seite des College Board.
Der Kurs ist in acht Units gegliedert, und das College Board veröffentlicht, wie viel von der Prüfung auf jede entfällt. Grenzwerte und Stetigkeit machen etwa 10 bis 12 Prozent aus, Grundlagen der Differentiation etwa 10 bis 12, zusammengesetzte, implizite und Umkehrfunktionen etwa 9 bis 13, kontextbezogene Anwendungen der Differentiation etwa 10 bis 15, analytische Anwendungen der Differentiation etwa 15 bis 18, Integration und Akkumulation von Änderung etwa 17 bis 20, Differentialgleichungen etwa 6 bis 12 und Anwendungen der Integration etwa 10 bis 15. Die Units 5 und 6 zusammen sind etwa ein Drittel der Prüfung, dort kostet eine Schwäche also am meisten.
Eine 5 ist die Bestnote, aber was eine Note wert ist, entscheidet jedes College selbst. Manche rechnen schon eine 3 an, viele verlangen eine 4 oder eine 5, und die Regeln unterscheiden sich je nach Kurs. Sieh dir die Regeln der Hochschulen an, die dich interessieren, bevor du entscheidest, wie viel du investierst.
So nutzt du diesen Auszug und so machst du ihn auf Papier
Die 15 Fragen verteilen sich auf die acht Units, mit den meisten auf den zwei schwersten, den analytischen Anwendungen der Differentiation und der Integration. Sie verlangen die Begründung hinter dem Schritt und kein auswendig gelerntes Ergebnis: warum die Kettenregel die Ableitung der inneren Funktion braucht, warum eine linke Riemann-Summe eine steigende Funktion unterschätzt, warum ein Kandidat auch an den Randpunkten geprüft werden muss, warum die Beschleunigung allein nicht sagt, ob ein Teilchen schneller wird. Dieses Denken belohnt auch der Freitextteil.
Mach ihn in einem Durchgang mit Schmierpapier und ohne Taschenrechner und lies dann die Erklärung zu jeder Frage, auch bei den richtigen. Behandle einen Fehler als Thema. Wenn du die Frage zur impliziten Differentiation und die zu verwandten Änderungsraten (related rates) verfehlt hast, liegt die Lücke wahrscheinlich in der Gewohnheit, nach der Zeit oder nach x abzuleiten und dy/dx mitzuführen, nicht in zwei einzelnen Fakten. Mathe steht hier als einfacher Text, also heißt x^2 x zum Quadrat und e^(2x) heißt e hoch 2x.
Wenn du lieber auf Papier arbeitest, nutze den Button „Als PDF herunterladen“ über den Fragen. Die Datei enthält alle 15 Fragen mit einem Lösungsschlüssel auf der letzten Seite und braucht ein kostenloses StudyPDF-Konto, online spielen ist kostenlos. Die Fragen sind selbst geschrieben und folgen der veröffentlichten Kursgliederung. Es sind keine freigegebenen Prüfungsfragen, und dieser Auszug übt den Freitextteil nicht, kombiniere ihn also mit früheren Freitextaufgaben vom College Board.
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Geschrieben vom StudyPDF-Team. Zuletzt aktualisiert am 19. August 2026.
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Wer hat diese Fragen geschrieben?
Das StudyPDF-Team hat jede Frage und Erklärung geschrieben, nach den acht Units der veröffentlichten AP-Calculus-AB-Kursgliederung. Es sind eigene Aufgaben, keine echten oder freigegebenen Prüfungsfragen, und StudyPDF steht in keiner Verbindung zum College Board, das diese Seite auch nicht unterstützt.
Wie unterscheidet sich das von der echten AP-Calculus-AB-Prüfung?
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