Wie lernst du den Einheitskreis auswendig?
Lern nur den ersten Quadranten auswendig und nutz für den Rest Muster. Merk dir drei Punkte: 30° ist (√3/2, 1/2), 45° ist (√2/2, √2/2) und 60° ist (1/2, √3/2). Alle anderen Winkel verwenden dieselben Zahlen mit anderen Vorzeichen. Die Vorzeichen leitest du aus dem Quadranten ab, die Bogenmaße aus einer einfachen Zählerregel. Dann fragst du dich ab, bis du einen leeren Kreis in wenigen Minuten ausfüllst.
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Für jeden Winkel ist der Punkt auf dem Kreis (cos θ, sin θ). Den Kreis auswendig zu können heißt also, Kosinus und Sinus für 16 Standardwinkel zu kennen. Das klingt nach 32 Werten, aber eigentlich sind es nur drei Zahlen, 1/2, √2/2 und √3/2, dazu 0 und 1.
Im ersten Quadranten zählen die x-Werte runter und die y-Werte hoch. Schreib alles als Bruch mit dem Nenner 2: x geht √3, √2, √1 und y geht √1, √2, √3, während der Winkel 30°, 45°, 60° durchläuft. Weil √1 gleich 1 ist, ergeben sich die drei Punkte oben. Der Tangens ist Sinus durch Kosinus: √3/3, 1 und √3.
Die anderen Quadranten spiegeln den ersten. Der Bezugswinkel, also der Winkel zurück zur x-Achse, liefert die Zahlen, der Quadrant die Vorzeichen. Im I. Quadranten sind alle drei Funktionen positiv, im II. nur der Sinus, im III. nur der Tangens und im IV. nur der Kosinus. Im Englischen merkt man sich das mit ASTC, All Students Take Calculus.
| Grad | Bogenmaß | (cos, sin) | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | (1, 0) | 0 |
| 30° | π/6 | (√3/2, 1/2) | √3/3 |
| 45° | π/4 | (√2/2, √2/2) | 1 |
| 60° | π/3 | (1/2, √3/2) | √3 |
| 90° | π/2 | (0, 1) | nicht definiert |
- 1Lern die drei Punkte im ersten Quadranten mit der Regel runterzählen, hochzählen: x ist √3, √2, √1 durch 2 und y ist √1, √2, √3 durch 2.
- 2Behalt den Handtrick als Absicherung. Halt deine linke Hand hoch, Handfläche zu dir, und gib dem kleinen Finger 0°, dann 30°, 45°, 60° und dem Daumen 90°. Knick den Finger für deinen Winkel ein. Die Wurzel aus der Zahl der Finger auf der Daumenseite, geteilt durch 2, ist der Kosinus. Die Wurzel aus der Zahl der Finger auf der Seite des kleinen Fingers, geteilt durch 2, ist der Sinus.
- 3Trag die Gradzahlen für alle vier Quadranten mit dem Muster +30, +15, +15, +30 ein: 30, 45, 60, 90, dann 120, 135, 150, 180 und so weiter bis 360.
- 4Leite das Bogenmaß aus den Nennern 6, 4 und 3 ab. Im II. Quadranten ist der Zähler der Nenner minus 1 (5π/6, 3π/4, 2π/3). Im III. Quadranten ist er der Nenner plus 1 (7π/6, 5π/4, 4π/3). Im IV. Quadranten ist er das Doppelte des Nenners minus 1 (11π/6, 7π/4, 5π/3).
- 5Übertrag die Zahlen aus dem ersten Quadranten in jeden Quadranten und setz die Vorzeichen.
- 6Zeichne eine Woche lang jeden Tag einen leeren Kreis aus dem Kopf und kontrollier ihn. Mach dann aus einzelnen Punkten Karteikarten, zum Beispiel sin 5π/6 vorne und 1/2 hinten, und wiederhol sie verteilt über die nächsten Wochen.