AP Calculus BC-øveprøve: kun BC-emner
- 15 spørgsmål
- Cirka 15 min.
- Gratis
Testens spørgsmål er på engelsk.
A curve is given by x = t^2 + 1 and y = t^3 - 3t. Which statements are true?
Vælg alle, der passer.
Øv videre
Lav din egen
Upload din bog, dine slides eller dine noter, eller fortæl bare Bo, hvad du vil lære. Du behøver ikke et dokument for at komme i gang.
Om denne test
Det her er en gratis smagsprøve på 15 spørgsmål i stil med multiple choice-delen af AP Calculus BC, skrevet af StudyPDF-teamet. Den fokuserer på det, BC lægger oven på AB: parametriske, polære og vektorværdige funktioner, uendelige rækker og Taylor-polynomier, Eulers metode og logistisk vækst, delvis integration, delbrøksopspaltning, uegentlige integraler og buelængde. Den blander multiple choice, vælg alle der passer og udfyld det tomme felt, og alle spørgsmål kan løses uden lommeregner. Svar på alle 15, se så din score og læs den gennemgåede forklaring til hvert spørgsmål.
Alle 15 spørgsmål i overblik
Vil du hellere læse, før du går i gang? Alle spørgsmål i smagsprøven står herunder. Svar og forklaringer er foldet sammen, indtil du åbner dem.
1.A curve is given by x = t^2 + 1 and y = t^3 - 3t. Which statements are true?
Vælg alle, der passer.
- A. dy/dx = 9/4 when t = 2
- B. The curve has a horizontal tangent when t = 1
- C. The curve has a vertical tangent when t = 0
- D. The curve has a horizontal tangent at exactly one value of t
- E. dy/dx = 3t^2 - 3 for all t
Svar: A. dy/dx = 9/4 when t = 2, B. The curve has a horizontal tangent when t = 1, C. The curve has a vertical tangent when t = 0
For a parametric curve, dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = (3t^2 - 3)/(2t). At t = 2 that is 9/4. A horizontal tangent needs dy/dt = 0 with dx/dt not 0: dy/dt = 0 at t = 1 and t = -1, and dx/dt is 2 and -2 there, so there are two such values, not one. A vertical tangent needs dx/dt = 0 with dy/dt not 0: at t = 0, dx/dt = 0 and dy/dt = -3. The expression 3t^2 - 3 is dy/dt, not dy/dx.
2.A particle moves in the plane with position (x(t), y(t)) = (6t, 4t^2). What is its speed at t = 1?
- A. 8
- B. 10
- C. 14
- D. 100
Svar: B. 10
The velocity vector is (x'(t), y'(t)) = (6, 8t), which is (6, 8) at t = 1. Speed is the magnitude of the velocity vector: sqrt(6^2 + 8^2) = sqrt(100) = 10. The answer 14 adds the components, 100 forgets the square root, and 8 is only the vertical component of the velocity.
3.What is the area enclosed by the polar curve r = 1 + cos(theta) for 0 <= theta <= 2 pi?
- A. pi
- B. 2 pi
- C. 3 pi / 2
- D. 3 pi
Svar: C. 3 pi / 2
The area in polar coordinates is (1/2) times the integral of r^2 d(theta). Here r^2 = 1 + 2 cos(theta) + cos^2(theta). Over a full turn, the integral of 1 is 2 pi, the integral of 2 cos(theta) is 0 and the integral of cos^2(theta) is pi, so the total is 3 pi. Multiply by 1/2 to get 3 pi / 2. The answer 3 pi forgets the factor of 1/2, which is the most common slip on polar area.
4.A curve is given by x = t^2 and y = t^3 for t > 0. What is d^2y/dx^2 at t = 1?
- A. 3/4
- B. 3/2
- C. 3
- D. 3/8
Svar: A. 3/4
First dy/dx = (3t^2)/(2t) = 3t/2. For the second derivative, differentiate dy/dx with respect to t and then divide by dx/dt again: d^2y/dx^2 = (3/2)/(2t) = 3/(4t). At t = 1 that is 3/4. The answer 3/2 is d/dt of dy/dx, which skips the second division by dx/dt, and that skipped division is the trap in this topic.
5.Which of the following series converge?
Vælg alle, der passer.
- A. The sum from n = 1 to infinity of 1/n
- B. The sum from n = 1 to infinity of 1/n^2
- C. The sum from n = 1 to infinity of (-1)^n / n
- D. The sum from n = 1 to infinity of n/(n + 1)
- E. The sum from n = 0 to infinity of (2/3)^n
Svar: B. The sum from n = 1 to infinity of 1/n^2, C. The sum from n = 1 to infinity of (-1)^n / n, E. The sum from n = 0 to infinity of (2/3)^n
The sum of 1/n^2 is a p-series with p = 2, which is greater than 1, so it converges. The sum of (-1)^n / n passes the alternating series test, because the terms shrink to 0 and decrease in size, so it converges, but only conditionally. The geometric series with ratio 2/3 converges because the ratio is between -1 and 1. The harmonic series 1/n is a p-series with p = 1 and diverges. The terms n/(n + 1) approach 1, not 0, so the series diverges by the nth term test.
6.What is the interval of convergence of the series: the sum from n = 1 to infinity of (x - 2)^n / (n * 3^n)?
- A. [-1, 5)
- B. (-1, 5)
- C. (-1, 5]
- D. [-1, 5]
Svar: A. [-1, 5)
The ratio test gives |x - 2|/3 < 1, so the radius is 3 and the series is centered at 2, which makes the open interval (-1, 5). Now check each endpoint separately. At x = 5 the terms are 3^n / (n * 3^n) = 1/n, the harmonic series, which diverges. At x = -1 the terms are (-3)^n / (n * 3^n) = (-1)^n / n, the alternating harmonic series, which converges. So the interval includes -1 and excludes 5.
7.What is the coefficient of x^3 in the Maclaurin series for e^(2x)?
- A. 1/6
- B. 8
- C. 4/3
- D. 2/3
Svar: C. 4/3
Start from e^u = 1 + u + u^2/2! + u^3/3! + ... and substitute u = 2x. The x^3 term is (2x)^3 / 3! = 8x^3 / 6 = (4/3) x^3. The coefficient 1/6 forgets to cube the 2, and 8 is f'''(0), the third derivative at 0, before dividing by 3 factorial. Maclaurin coefficients are f^(n)(0) / n!.
8.Complete the sentence.
Substituting -x^2 into the geometric series gives 1/(1 + x^2) = 1 - x^2 + _____ - x^6 + ... , and integrating term by term gives the series arctan x = x - _____ + x^5/5 - ... .
Muligheder for felt 1: x^3, x^4, x^6, x^2
Muligheder for felt 2: x^3/2, x^3, x^3/3, x^2/2
Svar: x^4, x^3/3
The geometric series 1/(1 - u) = 1 + u + u^2 + u^3 + ... with u = -x^2 gives 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ..., so the missing term is x^4. Integrating term by term raises each power by one and divides by the new power: x - x^3/3 + x^5/5 - ... . That is the series for arctan x, because the derivative of arctan x is 1/(1 + x^2) and arctan 0 = 0 fixes the constant of integration.
9.Complete the sentence.
The alternating series for the sum from n = 1 to infinity of (-1)^(n+1) / n^2 is approximated by its first 3 terms. The alternating series error bound says the error is at most _____, the size of the _____.
Muligheder for felt 1: 1/9, 1/16, 1/4, 1/3
Muligheder for felt 2: last term used, first omitted term, second omitted term, sum of all omitted terms
Svar: 1/16, first omitted term
The terms 1/n^2 decrease to 0, so the alternating series error bound applies: the error from stopping after a term is no larger than the absolute value of the first omitted term. After 3 terms, the first omitted term is the fourth, 1/4^2 = 1/16. The value 1/9 is the last term used, not the first one left out. The true error is the sum of all omitted terms, and the bound says that sum is no bigger than the first one in size.
10.Euler's method with a step size of 0.5 is applied to dy/dx = x + y with y(0) = 1. What is the approximation of y(1)?
- A. 2
- B. 2.25
- C. about 3.44
- D. 2.5
Svar: D. 2.5
Step 1: the slope at (0, 1) is 0 + 1 = 1, so y(0.5) is about 1 + 0.5(1) = 1.5. Step 2: the slope at (0.5, 1.5) is 0.5 + 1.5 = 2, so y(1) is about 1.5 + 0.5(2) = 2.5. The answer 2 is a single step of size 1, and 2.25 reuses the old y-value for the second slope. The exact solution, y = 2e^x - x - 1, gives about 3.44 at x = 1. Euler's method underestimates here because the solution is concave up, so each tangent line lies below the curve.
11.A population satisfies dP/dt = 0.2 P (1 - P/500) with P(0) = 50. Which statements are true?
Vælg alle, der passer.
- A. The carrying capacity is 500
- B. The population grows fastest when P = 250
- C. P(t) is increasing for all t >= 0
- D. The graph of P is concave up for all t > 0
- E. dP/dt is largest at t = 0
Svar: A. The carrying capacity is 500, B. The population grows fastest when P = 250, C. P(t) is increasing for all t >= 0
This is a logistic equation, dP/dt = kP(1 - P/K), so K = 500 is the carrying capacity. As a function of P, the rate 0.2P(1 - P/500) is a downward parabola with its peak halfway to K, at P = 250, where the rate is 25. The population stays between 50 and 500, so dP/dt is positive and P is always increasing. The graph is concave up while P is below 250 and concave down after that, so it is not concave up for all t. At t = 0 the rate is only 0.2(50)(0.9) = 9, far below the maximum.
12.What is the value of the integral of x ln x dx from x = 1 to x = e?
- A. (e^2 - 1)/4
- B. e^2 / 2
- C. (e^2 + 1)/2
- D. (e^2 + 1)/4
Svar: D. (e^2 + 1)/4
Use integration by parts with u = ln x and dv = x dx, so du = dx/x and v = x^2/2. The antiderivative is (x^2/2) ln x - the integral of x/2 dx = (x^2/2) ln x - x^2/4. At x = e that is e^2/2 - e^2/4 = e^2/4. At x = 1 it is 0 - 1/4 = -1/4. Subtracting the lower value gives e^2/4 + 1/4 = (e^2 + 1)/4. The answer (e^2 - 1)/4 comes from dropping the minus sign when subtracting -1/4.
13.What is the integral of 1/((x - 1)(x + 2)) dx?
- A. (1/3) ln|(x - 1)/(x + 2)| + C
- B. ln|(x - 1)(x + 2)| + C
- C. (1/3) ln|(x - 1)(x + 2)| + C
- D. 3 ln|(x - 1)/(x + 2)| + C
Svar: A. (1/3) ln|(x - 1)/(x + 2)| + C
Split the fraction: 1/((x - 1)(x + 2)) = A/(x - 1) + B/(x + 2), so 1 = A(x + 2) + B(x - 1). Setting x = 1 gives 1 = 3A, so A = 1/3. Setting x = -2 gives 1 = -3B, so B = -1/3. Integrating gives (1/3) ln|x - 1| - (1/3) ln|x + 2| + C = (1/3) ln|(x - 1)/(x + 2)| + C. The log of a product would come from adding the two terms, but the second term has a minus sign, so the logs combine as a quotient.
14.Complete the sentence.
The improper integral of 1/x^2 dx from x = 1 to infinity equals _____, and the improper integral of 1/x^p dx from x = 1 to infinity converges exactly when p is _____ 1.
Muligheder for felt 1: 0, 1, 2, The integral diverges
Muligheder for felt 2: less than, at most, equal to, greater than
Svar: 1, greater than
Write the improper integral as a limit: the limit as b approaches infinity of the integral from 1 to b, which is the limit of (1 - 1/b) = 1. For general p, the antiderivative x^(1-p)/(1-p) goes to 0 as b grows only when 1 - p is negative, that is, when p is greater than 1. At p = 1 the antiderivative is ln b, which grows without bound, so the integral diverges, just like the harmonic series.
15.What is the length of the curve y = (2/3) x^(3/2) from x = 0 to x = 3?
- A. 3
- B. 14/3
- C. 7/3
- D. 16/3
Svar: B. 14/3
Arc length is the integral of sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx. Here dy/dx = x^(1/2), so 1 + (dy/dx)^2 = 1 + x. The integral of sqrt(1 + x) from 0 to 3 is (2/3)(1 + x)^(3/2) evaluated from 0 to 3, which is (2/3)(8 - 1) = 14/3. The curve starts at the origin and moves 3 units to the right, so the length has to be more than 3, and 14/3 is about 4.67.
Sådan ser AP Calculus BC-eksamen ud, og hvad der kun er BC
AP Calculus BC-eksamen scores fra 1 til 5 og har to dele med lige vægt. Ifølge College Board er del I 42 multiple choice-spørgsmål på 1 time og 40 minutter: del A har 29 spørgsmål på 62 minutter uden lommeregner, og del B har 13 spørgsmål på 38 minutter, hvor en grafregner er påkrævet. Del II er 6 opgaver med fri besvarelse på 1 time og 30 minutter: del A har 2 opgaver på 30 minutter, der kræver en grafregner, og del B har 4 opgaver på 60 minutter, der ikke gør. Eksamen er hybrid digital, så du besvarer multiple choice-spørgsmålene i Bluebook-appen og håndskriver dine svar på opgaverne med fri besvarelse i et papirhæfte. Eksamen i maj 2027 ligger mandag den 10. maj i session 1. Ældre PDF'er og forberedelsesbøger beskriver 45 multiple choice-spørgsmål på 1 time og 45 minutter, som er formatet før opdateringen, så stol på College Boards aktuelle side.
BC dækker det samme som AB og går videre, fordelt på ti enheder. Enhed 1 til 8 har samme navne som i AB, men BC lægger emner oveni: delvis integration, delbrøksopspaltning og uegentlige integraler i enhed 6, Eulers metode og logistiske modeller i enhed 7 og buelængde i enhed 8. Så kommer to hele enheder til, enhed 9 om parametriske ligninger, polære koordinater og vektorværdige funktioner og enhed 10 om uendelige følger og rækker. College Board giver enhed 9 cirka 10 til 15 procent af multiple choice-delen og enhed 6 og 10 cirka 15 til 20 procent hver, så det er de enheder, hvor et svagt punkt koster mest.
5 er den højeste score, men hvad en score er værd, bestemmer hvert college selv. Nogle giver kursuskredit for et 3-tal, mange kræver 4 eller 5, og reglerne varierer fra kursus til kursus. Slå de skoler op, du interesserer dig for, før du afgør, hvor hårdt du vil skubbe på.
Sådan bruger du smagsprøven, og sådan tager du den på papir
Siden her overlader grænseværdier, afledede regler og simple integraler til AP Calculus AB-øveprøven, fordi BC-elever også skal bruge dem, og de ikke er det, der adskiller BC. De 15 spørgsmål her er kun BC: fire om parametriske, polære og vektorværdige funktioner, fem om rækker og Taylor-polynomier, tre om integrationsteknikker og uegentlige integraler i enhed 6, to om Eulers metode og logistisk vækst og ét om buelængde. Rækker får en tredjedel af smagsprøven, mere end deres andel af den rigtige eksamen, fordi de rummer flest forskellige ideer: konvergenstest, konvergensintervaller, Taylor-rækker og fejlgrænser.
Tag den i ét stræk med kladdepapir og uden lommeregner, og læs så forklaringen til hvert spørgsmål, også dem du svarede rigtigt på. Behandl en fejl som et emne. Hvis du missede konvergensintervallet og spørgsmålet om fejlen i en alternerende række, er hullet sandsynligvis, hvilken test du skal række ud efter, og hvordan du tjekker endepunkterne, ikke to adskilte fakta. Matematikken er skrevet i ren tekst her, så x^2 betyder x i anden, e^(2x) betyder e opløftet i 2x og ln x er den naturlige logaritme.
Hvis du hellere vil arbejde på papir, så brug knappen Hent prøven som PDF over spørgsmålene. Filen har alle 15 spørgsmål med en facitliste på sidste side, og den kræver en gratis StudyPDF-konto, mens det er gratis at spille online. Spørgsmålene er originale og skrevet ud fra den offentliggjorte kursusplan. De er ikke frigivne eksamensspørgsmål, og smagsprøven træner ikke delen med fri besvarelse, så kombinér den med tidligere opgaver med fri besvarelse fra College Board.
Sådan bygger StudyPDF AP Calculus BC-øveprøver ud fra dine noter fra timerne
Femten spørgsmål kan vise dig, hvilken enhed der er usikker. De kan ikke gøre dig klar alene, og en generel bank matcher sjældent de opgavetyper og den notation, din lærer faktisk bruger.
StudyPDF tager i stedet udgangspunkt i dit eget materiale. Upload kapitler fra din lærebog, din lærers slides, et gennemregnet opgavesæt eller dit repetitionshæfte, tryk på Nyt materiale, og StudyPDF bygger øveprøver ud fra præcis de sider. Hvert spørgsmål bygger på dit materiale, og hver forklaring henviser til, hvor svaret kommer fra, så du kan gå direkte tilbage til siden, når et trin ikke giver mening.
Du behøver ikke uploade noget for at komme i gang. Nævn i stedet et emne, for eksempel kvotienttesten eller fejlgrænser for Taylor-rækker, og Bo sætter det op med nøglebegreberne, så du kan bygge quizzer og flashcards om det. Dine resultater viser, hvilke begreber du bliver ved med at ramme forkert, så næste øveprøve kan målrette dem. Det er gratis at starte.
Skrevet af StudyPDF-teamet. Sidst opdateret 19. august 2026.
Godt at vide
Er den her AP Calculus BC-øveprøve gratis?
Ja. Alle 15 spørgsmål, scoreskærmen og hver gennemgåede forklaring er gratis, og quizzen kører i din browser. Du skal bruge en gratis StudyPDF-konto for at hente prøven som PDF med facitliste eller for at bygge flere øveprøver ud fra dine egne noter.
Hvem har skrevet spørgsmålene?
StudyPDF-teamet har skrevet hvert spørgsmål og hver forklaring ud fra de emner, der kun er BC, i den offentliggjorte kursusplan for AP Calculus BC. De er originale opgaver, ikke rigtige eller frigivne eksamensspørgsmål, og StudyPDF er ikke tilknyttet College Board, som ikke støtter denne side.
Hvordan adskiller den sig fra den rigtige AP Calculus BC-eksamen?
Den rigtige multiple choice-del har ét rigtigt svar per spørgsmål og er delt i en del uden grafregner og en del med. Smagsprøven bruger også vælg alle der passer og udfyld det tomme felt, og alle spørgsmål kan løses i hånden. Den dækker kun det, BC lægger oven på AB, så til grænseværdier, afledede regler og simple integraler skal du bruge AP Calculus AB-øveprøven, og den træner ikke de seks opgaver med fri besvarelse.
Kan jeg få øveprøver bygget ud fra mit eget kursusmateriale?
Ja. Upload kapitler fra din lærebog, slides, opgavesæt eller dit repetitionshæfte til StudyPDF, så kan du bygge øveprøver ud fra præcis de sider, med forklaringer knyttet til dine kilder. Har du ikke noget at uploade, så nævn et emne eller en enhed i stedet.