Simulado AP Calculus BC: tópicos só do BC
- 15 questões
- Cerca de 15 min
- Grátis
As perguntas do teste continuam em inglês.
A curve is given by x = t^2 + 1 and y = t^3 - 3t. Which statements are true?
Marque todas as opções corretas.
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Sobre este teste
Esta é uma amostra grátis de 15 questões no estilo da seção de múltipla escolha do AP Calculus BC, escrita pela equipe da StudyPDF. Ela foca no que o BC acrescenta ao AB: funções paramétricas, polares e vetoriais, séries infinitas e polinômios de Taylor, método de Euler e crescimento logístico, integração por partes, frações parciais, integrais impróprias e comprimento de arco. Mistura múltipla escolha, marcar todas as corretas e completar a lacuna, e todas as questões podem ser resolvidas sem calculadora. Responda as 15, depois veja sua pontuação e leia a explicação resolvida de cada questão.
Todas as 15 questões de uma vez
Prefere ler antes de jogar? Todas as questões da amostra estão listadas abaixo. As respostas e as explicações ficam fechadas até você abrir.
1.A curve is given by x = t^2 + 1 and y = t^3 - 3t. Which statements are true?
Marque todas as opções corretas.
- A. dy/dx = 9/4 when t = 2
- B. The curve has a horizontal tangent when t = 1
- C. The curve has a vertical tangent when t = 0
- D. The curve has a horizontal tangent at exactly one value of t
- E. dy/dx = 3t^2 - 3 for all t
Resposta: A. dy/dx = 9/4 when t = 2, B. The curve has a horizontal tangent when t = 1, C. The curve has a vertical tangent when t = 0
For a parametric curve, dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = (3t^2 - 3)/(2t). At t = 2 that is 9/4. A horizontal tangent needs dy/dt = 0 with dx/dt not 0: dy/dt = 0 at t = 1 and t = -1, and dx/dt is 2 and -2 there, so there are two such values, not one. A vertical tangent needs dx/dt = 0 with dy/dt not 0: at t = 0, dx/dt = 0 and dy/dt = -3. The expression 3t^2 - 3 is dy/dt, not dy/dx.
2.A particle moves in the plane with position (x(t), y(t)) = (6t, 4t^2). What is its speed at t = 1?
- A. 8
- B. 10
- C. 14
- D. 100
Resposta: B. 10
The velocity vector is (x'(t), y'(t)) = (6, 8t), which is (6, 8) at t = 1. Speed is the magnitude of the velocity vector: sqrt(6^2 + 8^2) = sqrt(100) = 10. The answer 14 adds the components, 100 forgets the square root, and 8 is only the vertical component of the velocity.
3.What is the area enclosed by the polar curve r = 1 + cos(theta) for 0 <= theta <= 2 pi?
- A. pi
- B. 2 pi
- C. 3 pi / 2
- D. 3 pi
Resposta: C. 3 pi / 2
The area in polar coordinates is (1/2) times the integral of r^2 d(theta). Here r^2 = 1 + 2 cos(theta) + cos^2(theta). Over a full turn, the integral of 1 is 2 pi, the integral of 2 cos(theta) is 0 and the integral of cos^2(theta) is pi, so the total is 3 pi. Multiply by 1/2 to get 3 pi / 2. The answer 3 pi forgets the factor of 1/2, which is the most common slip on polar area.
4.A curve is given by x = t^2 and y = t^3 for t > 0. What is d^2y/dx^2 at t = 1?
- A. 3/4
- B. 3/2
- C. 3
- D. 3/8
Resposta: A. 3/4
First dy/dx = (3t^2)/(2t) = 3t/2. For the second derivative, differentiate dy/dx with respect to t and then divide by dx/dt again: d^2y/dx^2 = (3/2)/(2t) = 3/(4t). At t = 1 that is 3/4. The answer 3/2 is d/dt of dy/dx, which skips the second division by dx/dt, and that skipped division is the trap in this topic.
5.Which of the following series converge?
Marque todas as opções corretas.
- A. The sum from n = 1 to infinity of 1/n
- B. The sum from n = 1 to infinity of 1/n^2
- C. The sum from n = 1 to infinity of (-1)^n / n
- D. The sum from n = 1 to infinity of n/(n + 1)
- E. The sum from n = 0 to infinity of (2/3)^n
Resposta: B. The sum from n = 1 to infinity of 1/n^2, C. The sum from n = 1 to infinity of (-1)^n / n, E. The sum from n = 0 to infinity of (2/3)^n
The sum of 1/n^2 is a p-series with p = 2, which is greater than 1, so it converges. The sum of (-1)^n / n passes the alternating series test, because the terms shrink to 0 and decrease in size, so it converges, but only conditionally. The geometric series with ratio 2/3 converges because the ratio is between -1 and 1. The harmonic series 1/n is a p-series with p = 1 and diverges. The terms n/(n + 1) approach 1, not 0, so the series diverges by the nth term test.
6.What is the interval of convergence of the series: the sum from n = 1 to infinity of (x - 2)^n / (n * 3^n)?
- A. [-1, 5)
- B. (-1, 5)
- C. (-1, 5]
- D. [-1, 5]
Resposta: A. [-1, 5)
The ratio test gives |x - 2|/3 < 1, so the radius is 3 and the series is centered at 2, which makes the open interval (-1, 5). Now check each endpoint separately. At x = 5 the terms are 3^n / (n * 3^n) = 1/n, the harmonic series, which diverges. At x = -1 the terms are (-3)^n / (n * 3^n) = (-1)^n / n, the alternating harmonic series, which converges. So the interval includes -1 and excludes 5.
7.What is the coefficient of x^3 in the Maclaurin series for e^(2x)?
- A. 1/6
- B. 8
- C. 4/3
- D. 2/3
Resposta: C. 4/3
Start from e^u = 1 + u + u^2/2! + u^3/3! + ... and substitute u = 2x. The x^3 term is (2x)^3 / 3! = 8x^3 / 6 = (4/3) x^3. The coefficient 1/6 forgets to cube the 2, and 8 is f'''(0), the third derivative at 0, before dividing by 3 factorial. Maclaurin coefficients are f^(n)(0) / n!.
8.Complete the sentence.
Substituting -x^2 into the geometric series gives 1/(1 + x^2) = 1 - x^2 + _____ - x^6 + ... , and integrating term by term gives the series arctan x = x - _____ + x^5/5 - ... .
Opções para a lacuna 1: x^3, x^4, x^6, x^2
Opções para a lacuna 2: x^3/2, x^3, x^3/3, x^2/2
Resposta: x^4, x^3/3
The geometric series 1/(1 - u) = 1 + u + u^2 + u^3 + ... with u = -x^2 gives 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ..., so the missing term is x^4. Integrating term by term raises each power by one and divides by the new power: x - x^3/3 + x^5/5 - ... . That is the series for arctan x, because the derivative of arctan x is 1/(1 + x^2) and arctan 0 = 0 fixes the constant of integration.
9.Complete the sentence.
The alternating series for the sum from n = 1 to infinity of (-1)^(n+1) / n^2 is approximated by its first 3 terms. The alternating series error bound says the error is at most _____, the size of the _____.
Opções para a lacuna 1: 1/9, 1/16, 1/4, 1/3
Opções para a lacuna 2: last term used, first omitted term, second omitted term, sum of all omitted terms
Resposta: 1/16, first omitted term
The terms 1/n^2 decrease to 0, so the alternating series error bound applies: the error from stopping after a term is no larger than the absolute value of the first omitted term. After 3 terms, the first omitted term is the fourth, 1/4^2 = 1/16. The value 1/9 is the last term used, not the first one left out. The true error is the sum of all omitted terms, and the bound says that sum is no bigger than the first one in size.
10.Euler's method with a step size of 0.5 is applied to dy/dx = x + y with y(0) = 1. What is the approximation of y(1)?
- A. 2
- B. 2.25
- C. about 3.44
- D. 2.5
Resposta: D. 2.5
Step 1: the slope at (0, 1) is 0 + 1 = 1, so y(0.5) is about 1 + 0.5(1) = 1.5. Step 2: the slope at (0.5, 1.5) is 0.5 + 1.5 = 2, so y(1) is about 1.5 + 0.5(2) = 2.5. The answer 2 is a single step of size 1, and 2.25 reuses the old y-value for the second slope. The exact solution, y = 2e^x - x - 1, gives about 3.44 at x = 1. Euler's method underestimates here because the solution is concave up, so each tangent line lies below the curve.
11.A population satisfies dP/dt = 0.2 P (1 - P/500) with P(0) = 50. Which statements are true?
Marque todas as opções corretas.
- A. The carrying capacity is 500
- B. The population grows fastest when P = 250
- C. P(t) is increasing for all t >= 0
- D. The graph of P is concave up for all t > 0
- E. dP/dt is largest at t = 0
Resposta: A. The carrying capacity is 500, B. The population grows fastest when P = 250, C. P(t) is increasing for all t >= 0
This is a logistic equation, dP/dt = kP(1 - P/K), so K = 500 is the carrying capacity. As a function of P, the rate 0.2P(1 - P/500) is a downward parabola with its peak halfway to K, at P = 250, where the rate is 25. The population stays between 50 and 500, so dP/dt is positive and P is always increasing. The graph is concave up while P is below 250 and concave down after that, so it is not concave up for all t. At t = 0 the rate is only 0.2(50)(0.9) = 9, far below the maximum.
12.What is the value of the integral of x ln x dx from x = 1 to x = e?
- A. (e^2 - 1)/4
- B. e^2 / 2
- C. (e^2 + 1)/2
- D. (e^2 + 1)/4
Resposta: D. (e^2 + 1)/4
Use integration by parts with u = ln x and dv = x dx, so du = dx/x and v = x^2/2. The antiderivative is (x^2/2) ln x - the integral of x/2 dx = (x^2/2) ln x - x^2/4. At x = e that is e^2/2 - e^2/4 = e^2/4. At x = 1 it is 0 - 1/4 = -1/4. Subtracting the lower value gives e^2/4 + 1/4 = (e^2 + 1)/4. The answer (e^2 - 1)/4 comes from dropping the minus sign when subtracting -1/4.
13.What is the integral of 1/((x - 1)(x + 2)) dx?
- A. (1/3) ln|(x - 1)/(x + 2)| + C
- B. ln|(x - 1)(x + 2)| + C
- C. (1/3) ln|(x - 1)(x + 2)| + C
- D. 3 ln|(x - 1)/(x + 2)| + C
Resposta: A. (1/3) ln|(x - 1)/(x + 2)| + C
Split the fraction: 1/((x - 1)(x + 2)) = A/(x - 1) + B/(x + 2), so 1 = A(x + 2) + B(x - 1). Setting x = 1 gives 1 = 3A, so A = 1/3. Setting x = -2 gives 1 = -3B, so B = -1/3. Integrating gives (1/3) ln|x - 1| - (1/3) ln|x + 2| + C = (1/3) ln|(x - 1)/(x + 2)| + C. The log of a product would come from adding the two terms, but the second term has a minus sign, so the logs combine as a quotient.
14.Complete the sentence.
The improper integral of 1/x^2 dx from x = 1 to infinity equals _____, and the improper integral of 1/x^p dx from x = 1 to infinity converges exactly when p is _____ 1.
Opções para a lacuna 1: 0, 1, 2, The integral diverges
Opções para a lacuna 2: less than, at most, equal to, greater than
Resposta: 1, greater than
Write the improper integral as a limit: the limit as b approaches infinity of the integral from 1 to b, which is the limit of (1 - 1/b) = 1. For general p, the antiderivative x^(1-p)/(1-p) goes to 0 as b grows only when 1 - p is negative, that is, when p is greater than 1. At p = 1 the antiderivative is ln b, which grows without bound, so the integral diverges, just like the harmonic series.
15.What is the length of the curve y = (2/3) x^(3/2) from x = 0 to x = 3?
- A. 3
- B. 14/3
- C. 7/3
- D. 16/3
Resposta: B. 14/3
Arc length is the integral of sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx. Here dy/dx = x^(1/2), so 1 + (dy/dx)^2 = 1 + x. The integral of sqrt(1 + x) from 0 to 3 is (2/3)(1 + x)^(3/2) evaluated from 0 to 3, which is (2/3)(8 - 1) = 14/3. The curve starts at the origin and moves 3 units to the right, so the length has to be more than 3, and 14/3 is about 4.67.
Como é a prova de AP Calculus BC e o que é só do BC
A prova de AP Calculus BC tem nota de 1 a 5 e duas seções de peso igual. Segundo o College Board, a Seção I tem 42 questões de múltipla escolha em 1 hora e 40 minutos: a Parte A tem 29 questões em 62 minutos sem calculadora, e a Parte B tem 13 questões em 38 minutos, em que é obrigatório ter uma calculadora gráfica. A Seção II tem 6 questões discursivas em 1 hora e 30 minutos: a Parte A tem 2 problemas em 30 minutos que exigem calculadora gráfica e a Parte B tem 4 problemas em 60 minutos que não permitem. A prova é digital híbrida, então você responde a múltipla escolha no aplicativo Bluebook e escreve à mão as respostas discursivas em um caderno de papel. A prova de maio de 2027 é na segunda-feira, 10 de maio, na Sessão 1. PDFs antigos e livros de preparação descrevem 45 questões de múltipla escolha em 1 hora e 45 minutos, que é o formato anterior à atualização, então confie na página atual do College Board.
O BC cobre o mesmo conteúdo do AB e vai além, em dez unidades. As Unidades 1 a 8 têm os mesmos nomes do AB, mas o BC acrescenta tópicos dentro delas: integração por partes, frações parciais e integrais impróprias na Unidade 6, método de Euler e modelos logísticos na Unidade 7 e comprimento de arco na Unidade 8. Depois vêm duas unidades inteiras novas, a Unidade 9, sobre equações paramétricas, coordenadas polares e funções vetoriais, e a Unidade 10, sobre sequências e séries infinitas. O College Board dá à Unidade 9 cerca de 10 a 15 por cento da seção de múltipla escolha, e às Unidades 6 e 10 cerca de 15 a 20 por cento cada uma, então são nessas unidades que um ponto fraco custa mais caro.
O 5 é a nota máxima, mas o que cada nota vale é decisão de cada faculdade. Algumas dão crédito para um 3, muitas pedem 4 ou 5, e as regras mudam conforme a disciplina. Veja as regras das instituições que lhe interessam antes de decidir o quanto vale a pena se esforçar.
Como usar esta amostra e como fazê-la no papel
Esta página deixa limites, regras de derivação e integrais básicas para o simulado de AP Calculus AB, porque os alunos de BC também precisam disso e não é o que distingue o BC. As 15 questões aqui são só do BC: quatro sobre funções paramétricas, polares e vetoriais, cinco sobre séries e polinômios de Taylor, três sobre técnicas de integração e integrais impróprias da Unidade 6, duas sobre método de Euler e crescimento logístico e uma sobre comprimento de arco. As séries ficam com um terço da amostra, mais do que o peso que têm na prova real, porque concentram o maior número de ideias distintas: testes de convergência, intervalos de convergência, séries de Taylor e limites de erro.
Faça tudo de uma vez, com rascunho e sem calculadora, depois leia a explicação de cada questão, inclusive das que você acertou. Trate cada erro como um tema. Se você errou o intervalo de convergência e a questão do erro da série alternada, a lacuna provavelmente é qual teste usar e como checar os extremos, e não dois fatos separados. A matemática está escrita em texto simples aqui, então x^2 quer dizer x ao quadrado, e^(2x) quer dizer e elevado a 2x e ln x é o logaritmo natural.
Se preferir estudar no papel, use o botão Baixar simulado em PDF acima das questões. O arquivo traz as 15 questões com o gabarito na última página, e exige uma conta grátis da StudyPDF, enquanto jogar online é grátis. As questões são originais e foram escritas com base no programa publicado do curso. Elas não são questões divulgadas de provas anteriores, e esta amostra não treina a seção discursiva, então combine-a com questões discursivas de anos anteriores do College Board.
Como a StudyPDF cria simulados de AP Calculus BC a partir das suas anotações
Quinze questões mostram qual unidade está frágil. Elas não deixam você pronto sozinhas, e um banco genérico raramente combina com os tipos de problema e a notação que o seu professor realmente usa.
A StudyPDF parte do seu material. Envie os capítulos do livro, os slides do professor, uma lista de problemas resolvidos ou a sua apostila de revisão, toque em Novo material, e a StudyPDF cria simulados a partir dessas páginas exatas. Cada questão é baseada no seu material e cada explicação cita de onde vem a resposta, então dá para voltar direto à página quando um passo não fizer sentido.
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Escrito pela equipe da StudyPDF. Atualizado em 19 de agosto de 2026.
Bom saber
Este simulado de AP Calculus BC é grátis?
Sim. As 15 questões, a tela de pontuação e todas as explicações resolvidas são grátis, e o quiz roda inteiro no seu navegador. Você precisa de uma conta grátis da StudyPDF para baixar o teste em PDF com gabarito ou para criar mais simulados a partir das suas próprias anotações.
Quem escreveu estas questões?
A equipe da StudyPDF escreveu cada questão e cada explicação, seguindo os tópicos exclusivos do BC no programa publicado do curso de AP Calculus BC. São questões originais, não questões reais nem divulgadas da prova, e a StudyPDF não tem vínculo com o College Board, que não endossa esta página.
Em que isto é diferente da prova real de AP Calculus BC?
A seção de múltipla escolha real tem uma única resposta correta por questão e é dividida em uma parte sem calculadora gráfica e outra com. Esta amostra também usa marcar todas as corretas e completar a lacuna, e todas as questões podem ser resolvidas à mão. Ela cobre só o que o BC acrescenta ao AB, então para limites, regras de derivação e integrais básicas use o simulado de AP Calculus AB, e ela não treina as seis questões discursivas.
Dá para ter simulados feitos com os meus materiais de aula?
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